韦达定理公式适用范围(高中数学超级韦达定理是什么)

高中数学公式:韦达定理

韦达定理公式:

一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

设两个根为x和y

则x+y=-b/a

xy=c/a

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和,∏是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是,那么

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明

设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式,有

x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}},x_2=frac{-b – sqrt {b^2-4ac}}

所以

x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) – sqrt {b^2-4ac}} =-frac,

x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b – sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac

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